VaR und ES für die Normalverteilung berechnen

Die Standardfunktion qnorm() berechnet Quantile einer Normalverteilung aus der Wahrscheinlichkeit p sowie Mittelwert und Standardabweichung und kann damit zur Berechnung des Value-at-Risk (VaR) verwendet werden. Die Funktion ESnorm() aus dem Paket QRM berechnet den Expected Shortfall (ES) für eine Normalverteilung aus der Wahrscheinlichkeit p, dem Lageparameter mu und dem Skalenparameter sd:

qnorm(p, mean = 0, sd = 1)
ESnorm(p, mu = 0, sd = 1)

Übliche numerische Werte für p sind 0,95 und 0,99 für Konfidenzniveaus von 95 % bzw. 99 %.

In dieser Übung berechnest und visualisierst du VaR und ES für eine Normalverteilung \(N(\mu, \sigma^2)\) mit Mittelwert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\). Dabei verwendest du neue Funktionen zur Sequenzgenerierung und zum Hinzufügen von Geraden zu einem Plot. Du kannst ihre Argumente nachlesen, indem du ?seq und ?abline in deiner Konsole eingibst.

Die Variablen mu und sigma enthalten den geschätzten Mittelwert und die Standardabweichung der Dow-Jones-Renditen für 2008–2009 aus djx. Alle drei Objekte stehen in deinem Workspace bereit.

Diese Übung ist Teil des Kurses

Quantitatives Risikomanagement in R

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Anleitung zur Übung

Ergänze seq(), um eine Folge von 100 x-Werten von \(-4\sigma\) bis \(4\sigma\) zu erstellen, und weise sie xvals zu.
Ergänze dnorm(), um die Dichte einer \(N(\mu, \sigma^2)\)-Verteilung an den Stellen xvals zu berechnen, und weise sie ndens zu.
Plotte ndens gegen xvals mit type = "l".
Verwende qnorm() und ESnorm(), um das 99 %-VaR und den 99 %-ES der Verteilung zu berechnen, und weise sie VaR99 bzw. ES99 zu.
Ergänze abline(), um vertikale Linien für VaR99 und ES99 in Rot bzw. Grün zu zeichnen.

Interaktive Übung

Vervollständige den Beispielcode, um diese Übung erfolgreich abzuschließen.

# Make a sequence of 100 x-values going from -4*sigma to 4*sigma
___ <- seq(from = -4*sigma, to = 4*sigma, length.out = ___)

# Compute the density of a N(mu, sigma^2) distribution at xvals
___ <- dnorm(___, mean = ___, sd = ___)

# Plot ndens against xvals


# Compute the 99% VaR and 99% ES of a N(mu, sigma^2) distribution
___ <- qnorm(___, mean = ___, sd = ___)
___ <- ESnorm(___, mu = ___, sd = ___)

# Draw vertical lines at VaR99 and ES99 in red and green
abline(v = ___, col = "red")
abline(v = ___, col = "green")

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