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Valorisation d’options Black‑Scholes

Les options sont les produits dérivés les plus utilisés au monde pour gérer le risque de prix des actifs. Dans cet exercice, vous allez valoriser une option d’achat (call) européenne sur l’action d’IBM à l’aide de la formule de valorisation Black‑Scholes. Les données IBM_returns ont été chargées dans votre espace de travail.

Vous commencerez par calculer la volatilité sigma de IBM_returns, en tant qu’écart type annualisé.

Ensuite, vous utiliserez la fonction black_scholes(), créée pour cet exercice et les suivants, afin de valoriser l’option pour deux niveaux de volatilité : sigma et deux fois sigma.

Le prix d’exercice K, c’est‑à‑dire le prix auquel un investisseur a le droit (sans obligation) d’acheter IBM, est de 80. Le taux sans risque r est de 2 % et le prix spot de marché S est de 90.

Vous pouvez consulter le code source de la fonction black_scholes() ici.

Cet exercice fait partie du cours

Gestion quantitative des risques en Python

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Instructions

  • Calculez la volatilité de IBM_returns comme écart type annualisé sigma (vous avez annualisé la volatilité au Chapitre 1).
  • Calculez le prix de l’option d’achat européenne de Black‑Scholes value_s en utilisant la fonction fournie black_scholes() lorsque la volatilité est sigma.
  • Trouvez ensuite le prix de l’option Black‑Scholes value_2s lorsque la volatilité vaut 2 * sigma.
  • Affichez value_s et value_2s pour observer comment le prix de l’option évolue avec une hausse de la volatilité.

Exercice interactif pratique

Essayez cet exercice en complétant cet exemple de code.

# Compute the volatility as the annualized standard deviation of IBM returns
sigma = np.sqrt(____) * IBM_returns.____

# Compute the Black-Scholes option price for this volatility
value_s = black_scholes(S = 90, X = 80, T = 0.5, r = 0.02, 
                        sigma = ____, option_type = "call")

# Compute the Black-Scholes option price for twice the volatility
value_2s = ____(S = 90, X = 80, T = 0.5, r = 0.02, 
                sigma = ____, option_type = "call")

# Display and compare both values
print("Option value for sigma: ", ____, "\n",
      "Option value for 2 * sigma: ", ____)
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