Différenciation

Comme vu dans la vidéo, lorsqu'une série chronologique est stationnaire autour d'une tendance (trend stationary), elle présente un comportement stationnaire autour d'une tendance. Un exemple simple est \(Y_t = \alpha + \beta t + X_t\) où \(X_t\) est stationnaire.

Un autre type de modèle de tendance est la marche aléatoire, de la forme \(X_t = X_{t-1} + W_t\), où \(W_t\) est un bruit blanc. On parle de marche aléatoire parce qu'à l'instant \(t\), le processus se trouve là où il était à l'instant \(t-1\) plus un mouvement complètement aléatoire. Pour une marche aléatoire avec dérive, on ajoute une constante au modèle, ce qui fait dériver la marche aléatoire dans la direction (positive ou négative) de la dérive.

Nous avons simulé et tracé des données issues de ces modèles. Remarquez la différence de comportement entre les deux modèles.

Dans les deux cas, une simple différenciation peut retirer la tendance et forcer les données à devenir stationnaires. La différenciation examine l'écart entre la valeur d'une série chronologique à un moment donné et la valeur qui la précède. Autrement dit, on calcule \(X_t - X_{t-1}\).

Pour vérifier que cela fonctionne, vous allez différencier chaque série générée et tracer la série détrendancée. Si une série chronologique est dans x, alors diff(x) donnera la série détrendancée obtenue par différenciation des données. Pour tracer la série détrendancée, utilisez simplement plot(diff(x)).