Umgang mit Trend und Heteroskedastizität

Hier zwingen wir nichtstationäre Daten zur Stationarität, indem wir die Rendite bzw. Wachstumsrate wie folgt berechnen.

Häufig werden Zeitreihen durch $$X_t = (1 + p_t) X_{t-1}$$ erzeugt. Das bedeutet: Der zum Zeitpunkt \(t\) beobachtete Wert der Zeitreihe entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t-1\) plus einer kleinen prozentualen Änderung \(p_t\) zum Zeitpunkt \(t\).

Ein einfaches deterministisches Beispiel ist das Einzahlen von Geld auf ein Bankkonto mit einem festen Zinssatz \(p\). In diesem Fall ist \(X_t\) der Kontostand im Zeitraum \(t\) bei einer anfänglichen Einzahlung von \(X_0\).

Typischerweise wird \(p_t\) als Rendite oder Wachstumsrate einer Zeitreihe bezeichnet, und dieser Prozess ist oft stabil.

Aus Gründen, die außerhalb des Umfangs dieses Kurses liegen, lässt sich zeigen, dass die Wachstumsrate \(p_t\) näherungsweise durch $$Y_t = \log X_t - \log X_{t-1} \approx p_t$$ beschrieben werden kann.

In R wird \(p_t\) häufig mit diff(log(x)) berechnet, und die Visualisierung gelingt in einer Zeile mit plot(diff(log(x))).

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ARIMA-Modelle in R

Anleitung zur Übung

Wie zuvor sind die Pakete astsa und xts vorab geladen.
Erzeuge ein Mehrfach-Plot, um (1) die vierteljährlichen US-GNP-Daten (gnp) zu plotten und festzustellen, dass sie nicht stationär sind, und (2) die approximative Wachstumsrate des US-GNP mit diff() und log() zu plotten.
Verwende ein Mehrfach-Plot, um (1) die täglichen DJIA-Schlusskurse (djia$Close) zu plotten und festzustellen, dass sie nicht stationär sind. Die Daten sind ein xts-Objekt. Anschließend (2) plotte die approximativen DJIA-Renditen mit diff() und log(). Wie verhält sich das im Vergleich zur Wachstumsrate des GNP?

Interaktive Übung

Vervollständige den Beispielcode, um diese Übung erfolgreich abzuschließen.

# astsa and xts are preloaded 

# Plot GNP series (gnp) and its growth rate
par(mfrow = c(2,1))
plot(gnp)


# Plot DJIA closings (djia$Close) and its returns
par(mfrow = c(2,1))
plot(djia$Close)

Code bearbeiten und ausführen

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ARIMA-Modelle in R

Geringe SchwierigkeitSchwierigkeitsgrad

4.9+

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Du untersuchst die Eigenschaften von Zeitreihendaten und lernst die Grundlagen von ARMA-Modellen kennen, die das Verhalten solcher Daten erklären. Außerdem lernst du die grundlegenden R-Befehle, um rohe Zeitreihendaten so aufzubereiten, dass sie mit ARMA-Modellen analysiert werden können.

Exercise 1: Erstmal das Wichtigste Exercise 2: Daten erkunden Exercise 3: Bestandteile von Zeitreihen Exercise 4: Stationarität und Nichtstationarität Exercise 5: Differenzbildung Exercise 6: Daten detrenden Exercise 7: Umgang mit Trend und Heteroskedastizität

Aktuelle Übung

Exercise 8: Stationäre Zeitreihen: ARMA Exercise 9: ARMA-Modelle simulieren

Du entdeckst die Welt der ARMA-Modelle und wie du diese auf Zeitreihen anpasst. Du lernst, wie du ein Modell identifizierst, das richtige Modell auswählst und es nach der Anpassung prüfst. Außerdem verwendest du R-Befehle für Zeitreihen aus den Paketen stats und astsa.

Exercise 1: AR- und MA-Modelle Exercise 2: Ein AR(1)-Modell anpassen Exercise 3: Ein AR(2)-Modell anpassen Exercise 4: Ein MA(1)-Modell anpassen Exercise 5: AR und MA zusammen Exercise 6: Ein ARMA-Modell anpassen Exercise 7: Ein ARMA-Modell identifizieren Exercise 8: Modellwahl und Residuenanalyse Exercise 9: Modellwahl – I Exercise 10: Modellauswahl – II Exercise 11: Residuenanalyse – I Exercise 12: Residualanalyse – II Exercise 13: ARMA rein da

Nachdem du weißt, wie man ARMA-Modelle auf stationäre Zeitreihen anpasst, lernst du integrierte ARMA- (ARIMA-) Modelle für nichtstationäre Zeitreihen kennen. Du passt die Modelle auf reale Daten an – mit R-Zeitreihenbefehlen aus den Paketen stats und astsa.

Exercise 1: ARIMA – integriertes ARMA Exercise 2: ARIMA – Plug-and-Play Exercise 3: Simuliertes ARIMA Exercise 4: Globale Erwärmung Exercise 5: ARIMA-Diagnostik Exercise 6: Diagnostik – simuliertes Overfitting Exercise 7: Diagnostik – globale Temperaturen Exercise 8: ARIMA-Vorhersage Exercise 9: Prognosen mit simuliertem ARIMA Exercise 10: Prognose globaler Temperaturen

Du lernst, saisonale Zeitreihen mit saisonalen ARIMA-Modellen zu modellieren und zu prognostizieren. Das gelingt mit dem Wissen aus den vorherigen Kapiteln und durch die Erweiterung der R-Zeitreihenbefehle aus den Paketen stats und astsa.

Exercise 1: Reine saisonale Modelle Exercise 2: P/ACF reiner saisonaler Modelle Exercise 3: Ein reines saisonales Modell anpassen Exercise 4: Gemischte saisonale Modelle Exercise 5: Gemischtes saisonales Modell anpassen Exercise 6: Datenanalyse – Arbeitslosigkeit I Exercise 7: Datenanalyse – Arbeitslosigkeit II Exercise 8: Datenanalyse – Rohstoffpreise Exercise 9: Datenanalyse – Geburtenrate Exercise 10: Saisonale ARIMA vorhersagen Exercise 11: Monatliche Arbeitslosigkeit vorhersagen Exercise 12: Wie schwer ist es, Rohstoffpreise zu prognostizieren?Exercise 13: Glückwunsch!