Différenciation

Comme vu dans la vidéo, lorsqu’une série temporelle est stationnaire autour d’une tendance (trend stationary), elle présente un comportement stationnaire autour d’une tendance. Un exemple simple est \(Y_t = \alpha + \beta t + X_t\) où \(X_t\) est stationnaire.

Un autre type de modèle pour la tendance est la marche aléatoire, de la forme \(X_t = X_{t-1} + W_t\), où \(W_t\) est un bruit blanc. On l’appelle marche aléatoire car, à l’instant \(t\), le processus se trouve là où il était à l’instant \(t-1\) plus un mouvement entièrement aléatoire. Pour une marche aléatoire avec dérive, on ajoute une constante au modèle, ce qui fait dériver la marche aléatoire dans la direction (positive ou négative) de la dérive.

Nous avons simulé et tracé des données issues de ces modèles. Notez la différence de comportement entre les deux modèles.

Dans les deux cas, une simple différenciation peut supprimer la tendance et forcer les données à la stationnarité. La différenciation examine l’écart entre la valeur d’une série temporelle à un instant donné et sa valeur précédente. Autrement dit, on calcule \(X_t - X_{t-1}\).

Pour vérifier que cela fonctionne, vous allez différencier chaque série simulée et tracer la série détrendée. Si une série temporelle est dans x, alors diff(x) donne la série détrendée obtenue par différenciation des données. Pour tracer la série détrendée, utilisez simplement plot(diff(x)).