Gestire trend ed eteroschedasticità

Qui renderemo stazionari dati non stazionari calcolando il rendimento o tasso di crescita come segue.

Spesso le serie temporali sono generate come $$X_t = (1 + p_t) X_{t-1}$$, cioè il valore della serie osservato al tempo \(t\) è uguale al valore osservato al tempo \(t-1\) moltiplicato per una piccola variazione percentuale \(p_t\) al tempo \(t\).

Un semplice esempio deterministico è depositare denaro in banca con un tasso di interesse fisso \(p\). In questo caso, \(X_t\) è il valore del conto al tempo \(t\) con un deposito iniziale \(X_0\).

Di solito, \(p_t\) è chiamato rendimento o tasso di crescita di una serie temporale, e questo processo è spesso stabile.

Per ragioni che esulano dallo scopo di questo corso, si può dimostrare che il tasso di crescita \(p_t\) può essere approssimato da $$Y_t = \log X_t - \log X_{t-1} \approx p_t.$$

In R, \(p_t\) si calcola spesso come diff(log(x)) e lo si può rappresentare in un'unica riga con plot(diff(log(x))).

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Modelli ARIMA in R

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Istruzioni dell'esercizio

Come prima, i pacchetti astsa e xts sono già caricati.
Genera un grafico multifigure per (1) tracciare i dati trimestrali del GNP USA (gnp) e notare che non è stazionario, e (2) tracciare il tasso di crescita approssimato del GNP USA usando diff() e log().
Usa un grafico multifigure per (1) tracciare le chiusure giornaliere del DJIA (djia$Close) e notare che non è stazionario. I dati sono un oggetto xts. Poi (2) traccia i rendimenti approssimati del DJIA usando diff() e log(). Come si confrontano con il tasso di crescita del GNP?

Esercizio pratico interattivo

Prova a risolvere questo esercizio completando il codice di esempio.

# astsa and xts are preloaded 

# Plot GNP series (gnp) and its growth rate
par(mfrow = c(2,1))
plot(gnp)


# Plot DJIA closings (djia$Close) and its returns
par(mfrow = c(2,1))
plot(djia$Close)

Modifica ed esegui il codice

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Modelli ARIMA in R

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You will investigate the nature of time series data and learn the basics of ARMA models that can explain the behavior of such data. You will learn the basic R commands needed to help set up raw time series data to a form that can be analyzed using ARMA models.

Exercise 1: Prima di tutto Exercise 2: Giochiamo con i dati Exercise 3: Elementi delle serie storiche Exercise 4: Stazionarietà e non stazionarietà Exercise 5: Differenziazione Exercise 6: Rimozione del trend (detrending)Exercise 7: Gestire trend ed eteroschedasticità

Esercizio in corso

Exercise 8: Serie temporali stazionarie: ARMA Exercise 9: Simulare modelli ARMA

You will discover the wonderful world of ARMA models and how to fit these models to time series data. You will learn how to identify a model, how to choose the correct model, and how to verify a model once you fit it to data. You will learn how to use R time series commands from the stats and astsa packages.

Exercise 1: AR and MA models Exercise 2: Fitting an AR(1) model Exercise 3: Fitting an AR(2) model Exercise 4: Fitting an MA(1) model Exercise 5: AR and MA together Exercise 6: Fitting an ARMA model Exercise 7: Identify an ARMA model Exercise 8: Model choice and residual analysis Exercise 9: Model choice - I Exercise 10: Model choice - II Exercise 11: Residual analysis - I Exercise 12: Residual analysis - II Exercise 13: ARMA get in

Now that you know how to fit ARMA models to stationary time series, you will learn about integrated ARMA (ARIMA) models for nonstationary time series. You will fit the models to real data using R time series commands from the stats and astsa packages.

Exercise 1: ARIMA - integrated ARMA Exercise 2: ARIMA - plug and play Exercise 3: Simulated ARIMA Exercise 4: Global warming Exercise 5: ARIMA diagnostics Exercise 6: Diagnostics - simulated overfitting Exercise 7: Diagnostics - global temperatures Exercise 8: Forecasting ARIMA Exercise 9: Forecasting simulated ARIMA Exercise 10: Forecasting global temperatures

You will learn how to fit and forecast seasonal time series data using seasonal ARIMA models. This is accomplished using what you learned in the previous chapters and by learning how to extend the R time series commands available in the stats and astsa packages.

Exercise 1: Pure seasonal models Exercise 2: P/ACF of pure seasonal models Exercise 3: Fit a pure seasonal model Exercise 4: Mixed seasonal models Exercise 5: Fit a mixed seasonal model Exercise 6: Data analysis - unemployment I Exercise 7: Data analysis - unemployment II Exercise 8: Data analysis - commodity prices Exercise 9: Data analysis - birth rate Exercise 10: Forecasting seasonal ARIMA Exercise 11: Forecasting monthly unemployment Exercise 12: How hard is it to forecast commodity prices?Exercise 13: Congratulations!