Differenziazione

Come visto nel video, quando una serie temporale è trend stationary, mostra un comportamento stazionario attorno a un trend. Un esempio semplice è \(Y_t = \alpha + \beta t + X_t\) dove \(X_t\) è stazionaria.

Un modello diverso per il trend è il random walk, che ha la forma \(X_t = X_{t-1} + W_t\), dove \(W_t\) è rumore bianco. Si chiama random walk perché al tempo \(t\) il processo si trova dove era al tempo \(t-1\) più uno spostamento completamente casuale. Per un random walk con deriva, si aggiunge una costante al modello che fa sì che il random walk derivi nella direzione (positiva o negativa) della deriva.

Abbiamo simulato e tracciato dati da questi modelli. Nota la differenza nel comportamento dei due modelli.

In entrambi i casi, una semplice differenziazione può rimuovere il trend e forzare i dati alla stazionarietà. La differenziazione considera la differenza tra il valore di una serie temporale in un certo istante e il suo valore precedente. Cioè si calcola \(X_t - X_{t-1}\).

Per verificarne l’efficacia, differenzierai ciascuna serie temporale generata e traccerai la serie detrendizzata. Se una serie temporale è in x, allora diff(x) restituisce la serie senza trend ottenuta differenziando i dati. Per tracciare la serie detrendizzata, usa semplicemente plot(diff(x)).