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Intégrer une fonction simple

Il s’agit d’un exercice simple pour introduire le concept d’intégration de Monte Carlo.

Ici, nous allons évaluer l’intégrale \( \int_0^1 x e^{x} dx\). Nous savons que la valeur exacte est \(1\), mais la simulation donnera une solution approchée ; nous pouvons donc nous attendre à une réponse proche de \(1\). Comme vu dans la vidéo, le procédé est simple. Pour une fonction d’une seule variable \(f(x)\) :

  1. Récupérez les bornes de l’axe des x \((x_{min}, x_{max})\) et de l’axe des y \((\max(f(x)), \min(\min(f(x)), 0))\).
  2. Générez un certain nombre de points répartis uniformément dans ce rectangle.
  3. Multipliez l’aire du rectangle (\((\max(f(x) - \min(f(x))\times(x_{max}-x_{min})\)) par la fraction de points situés sous \(f(x)\).

À la fin, vous aurez un cadre pour traiter des intégrales définies avec l’intégration de Monte Carlo.

Cet exercice fait partie du cours

Simulation statistique en Python

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Instructions

  • Dans la fonction sim_integrate(), générez des nombres aléatoires uniformes entre xmin et xmax et affectez-les à x.
  • Générez des nombres aléatoires uniformes entre \(\min(\min(f(x)), 0)\) et \(\max(f(x))\) et affectez-les à y.
  • Retournez la fraction de points inférieurs à \(f(x)\) multipliée par l’aire (\((\max(f(x) - \min(f(x))\times(x_{max}-x_{min})\)).
  • Enfin, utilisez une fonction lambda pour définir func comme \(x e^{x}\).

Exercice interactif pratique

Essayez cet exercice en complétant cet exemple de code.

# Define the sim_integrate function
def sim_integrate(func, xmin, xmax, sims):
    x = np.random.uniform(____, ____, sims)
    y = np.random.uniform(____, ____, sims)
    area = (max(y) - min(y))*(xmax-xmin)
    result = area * sum(____(____) < abs(func(x)))/sims
    return result
    
# Call the sim_integrate function and print results
result = sim_integrate(func = lambda x: ____, xmin = 0, xmax = 1, sims = 50)
print("Simulated answer = {}, Actual Answer = 1".format(result))
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