計算 pi 的數值

現在要實作一個經典範例——估計 $\pi$ 的數值。

想像一個邊長為 2 的正方形，以原點 $(0, 0)$ 為中心，四個頂點座標為 $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$。這個正方形的面積是 $2\times 2 = 4$。再想像一個半徑為 1、圓心在原點的圓，剛好內切在這個正方形裡。這個圓的面積是 $\pi \times \text{radius}^2 = \pi$。

為了估計 $\pi$，我們在這個正方形內隨機抽樣許多點，並計算落在圓內的點所佔比例（滿足 $x^2 + y^2 <= 1$）。圓的面積等於這個比例的 4 倍，這就給出我們對 $\pi$ 的估計。

完成這個練習後，你會更熟悉如何用模擬來進行計算。

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Python 的統計模擬

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練習說明

在主控台用 np.pi 查看 $\pi$ 的真值。將 sims 設為 10000，circle_points 設為 0。
在 for 迴圈內，使用 np.random.uniform() 在 -1 到 1 之間產生一個點（x 與 y 座標），並指定 size=2。
用方程式 $x^2 + y^2 <= 1$ 檢查該點是否位於單位圓內，指定給 within_circle，並依此遞增 circle_points。
將圓內點所佔比例乘以 4，印出 $\pi$ 的估計值 pi_sim。

動手互動練習

試著完成這個範例程式碼，體驗一下這個練習。

# Initialize sims and circle_points
sims, circle_points = ____, ____ 

for i in range(sims):
    # Generate the two coordinates of a point
    point = ____
    # if the point lies within the unit circle, increment counter
    within_circle = point[0]**2 + point[1]**2 <= 1
    if ____ == True:
        circle_points +=1
        
# Estimate pi as 4 times the avg number of points in the circle.
pi_sim = ____
print("Simulated value of pi = {}".format(pi_sim))

編輯並執行程式碼