计算 π 的值

现在来做一个经典示例——估计 $\pi$ 的取值。

设想一个边长为 $2$ 的正方形，以原点 $(0, 0)$ 为中心，四个顶点坐标为 $(1, 1)、(1, -1)、(-1, 1)、(-1, -1)$。该正方形面积为 $2\times 2 = 4$。再设想一个半径为 $1$ 的圆，以原点为圆心，恰好内接于该正方形。这个圆的面积为 $\pi \times \text{radius}^2 = \pi$。

为估计 $\pi$，我们在该正方形内随机抽样多个点，并计算落在圆内的点的比例（满足 $x^2 + y^2 <= 1$）。圆的面积约为 $4$ 倍的这一比例，从而得到对 $\pi$ 的估计。

完成本练习后，您将掌握如何用模拟来进行数值计算。

本练习是课程的一部分

Python 中的统计模拟

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练习说明

在控制台中使用 np.pi 查看 $\pi$ 的真实值。将 sims 初始化为 10000，将 circle_points 初始化为 0。
在 for 循环中，使用 np.random.uniform() 在 -1 到 1 之间生成一个点（x 与 y 坐标），设置 size=2。
使用方程 $x^2 + y^2 <= 1$ 判断该点是否位于单位圆内，赋值给 within_circle，并相应增加 circle_points。
打印对 $\pi$ 的估计值 pi_sim，其为落在圆内的点所占比例的 4 倍。

交互式实操练习

通过完成这段示例代码来试试这个练习。

# Initialize sims and circle_points
sims, circle_points = ____, ____ 

for i in range(sims):
    # Generate the two coordinates of a point
    point = ____
    # if the point lies within the unit circle, increment counter
    within_circle = point[0]**2 + point[1]**2 <= 1
    if ____ == True:
        circle_points +=1
        
# Estimate pi as 4 times the avg number of points in the circle.
pi_sim = ____
print("Simulated value of pi = {}".format(pi_sim))

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