Całkowanie prostej funkcji

To ćwiczenie wprowadza pojęcie całkowania metodą Monte Carlo.

Obliczamy prostą całkę \( \int_0^1 x e^{x} dx\). Dokładna wartość tej całki wynosi \(1\), ale symulacja da nam przybliżony wynik – spodziewaj się więc wartości bliskiej \(1\). Jak pokazano w filmie, proces jest prosty. Dla funkcji jednej zmiennej \(f(x)\):

Wyznacz granice osi x \((x_{min}, x_{max})\) i osi y \((\max(f(x)), \min(\min(f(x)), 0))\).
Wygeneruj zestaw punktów o rozkładzie jednostajnym wewnątrz tego prostokąta.
Pomnóż pole prostokąta (\((\max(f(x) - \min(f(x))\times(x_{max}-x_{min})\)) przez ułamek punktów leżących poniżej \(f(x)\).

Po wykonaniu ćwiczenia będziesz dysponować gotowym schematem obliczania całek oznaczonych metodą Monte Carlo.

To ćwiczenie jest częścią kursu

Symulacje statystyczne w Pythonie

Zobacz kurs

Instrukcje do ćwiczenia

W funkcji sim_integrate() wygeneruj jednostajnie rozłożone liczby losowe z przedziału od xmin do xmax i przypisz je do x.
Wygeneruj jednostajnie rozłożone liczby losowe z przedziału od \(\min(\min(f(x)), 0)\) do \(\max(f(x))\) i przypisz je do y.
Zwróć ułamek punktów leżących poniżej \(f(x)\) pomnożony przez pole prostokąta (\((\max(f(x) - \min(f(x))\times(x_{max}-x_{min})\)).
Na koniec użyj funkcji lambda, aby zdefiniować func jako \(x e^{x}\).

Interaktywne ćwiczenie praktyczne

Spróbuj tego ćwiczenia, uzupełniając ten przykładowy kod.

# Define the sim_integrate function
def sim_integrate(func, xmin, xmax, sims):
    x = np.random.uniform(____, ____, sims)
    y = np.random.uniform(____, ____, sims)
    area = (max(y) - min(y))*(xmax-xmin)
    result = area * sum(____(____) < abs(func(x)))/sims
    return result
    
# Call the sim_integrate function and print results
result = sim_integrate(func = lambda x: ____, xmin = 0, xmax = 1, sims = 50)
print("Simulated answer = {}, Actual Answer = 1".format(result))

Edytuj i uruchom kod