Lien entre les distributions binomiale et de Poisson

Vous venez d'apprendre que la distribution de Poisson est une limite de la distribution binomiale pour des événements rares. Cela se tient si l'on pense aux scénarios. Supposons que nous effectuions une épreuve de Bernoulli chaque minute pendant une heure, chacune avec une probabilité de succès de 0,1. Nous ferions 60 épreuves, et le nombre de succès suivrait une loi binomiale; on s'attendrait à environ 6 succès. C'est exactement comme l'histoire de Poisson vue dans la vidéo, où l'on reçoit en moyenne 6 visites par heure sur un site web. Ainsi, la distribution de Poisson avec un taux d'arrivée égal à \(np\) approxime une distribution binomiale pour \(n\) épreuves de Bernoulli avec une probabilité \(p\) de succès (avec \(n\) grand et \(p\) petit). Point important : la distribution de Poisson est souvent plus simple à utiliser, car elle n'a qu'un seul paramètre, contre deux pour la binomiale.

Explorons ces deux distributions de façon informatique. Vous allez calculer la moyenne et l'écart type d'échantillons tirés d'une distribution de Poisson avec un taux d'arrivée de 10. Ensuite, vous calculerez la moyenne et l'écart type d'échantillons tirés d'une distribution binomiale avec des paramètres \(n\) et \(p\) tels que \(np = 10\).

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Réflexion statistique en Python (Partie 1)

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Instructions de l’exercice

À l'aide de la fonction rng.poisson(), tirez 10000 échantillons d'une distribution de Poisson de moyenne 10.
Créez une liste des valeurs de n et p à considérer pour la distribution binomiale. Choisissez n = [20, 100, 1000] et p = [0.5, 0.1, 0.01] de façon à ce que \(np\) soit toujours égal à 10.
À l'aide de rng.binomial() dans la for fournie, tirez 10000 échantillons d'une distribution binomiale pour chaque paire n, p, puis affichez la moyenne et l'écart type des échantillons. Il y a 3 paires n, p : 20, 0.5, 100, 0.1 et 1000, 0.01. Elles peuvent être appelées dans la boucle comme n[i], p[i].

Exercice interactif pratique

Essayez cet exercice en complétant ce code d’exemple.

# Draw 10,000 samples out of Poisson distribution: samples_poisson


# Print the mean and standard deviation
print('Poisson:     ', np.mean(samples_poisson),
                       np.std(samples_poisson))

# Specify values of n and p to consider for Binomial: n, p



# Draw 10,000 samples for each n,p pair: samples_binomial
for i in range(3):
    samples_binomial = ____

    # Print results
    print('n =', n[i], 'Binom:', np.mean(samples_binomial),
                                 np.std(samples_binomial))

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