Beziehung zwischen Binomial- und Poisson-Verteilungen

Du hast gerade gehört, dass die Poisson-Verteilung die Grenzverteilung der Binomialverteilung für seltene Ereignisse ist. Das ergibt Sinn, wenn du an die „Stories“ denkst. Angenommen, wir führen jede Minute für eine Stunde einen Bernoulli-Versuch mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,1 durch. Wir würden 60 Versuche machen; die Anzahl der Erfolge ist binomialverteilt, und wir würden etwa 6 Erfolge erwarten. Das ist genau wie in der Poisson-Story aus dem Video, in der wir im Durchschnitt 6 Zugriffe pro Stunde auf eine Website bekommen. Die Poisson-Verteilung mit Ankunftsrate \(np\) approximiert also eine Binomialverteilung für \(n\) Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) (für großes \(n\) und kleines \(p\)). Wichtig ist: Mit der Poisson-Verteilung kann man oft einfacher arbeiten, weil sie nur einen Parameter hat, statt zwei wie die Binomialverteilung.

Lass uns diese beiden Verteilungen rechnerisch erkunden. Du berechnest den Mittelwert und die Standardabweichung von Stichproben aus einer Poisson-Verteilung mit einer Ankunftsrate von 10. Anschließend berechnest du den Mittelwert und die Standardabweichung von Stichproben aus einer Binomialverteilung mit den Parametern \(n\) und \(p\), sodass \(np = 10\) gilt.

Diese Übung ist Teil des Kurses

Statistical Thinking in Python (Teil 1)

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Anleitung zur Übung

Ziehe mit der Funktion rng.poisson() 10000 Stichproben aus einer Poisson-Verteilung mit einem Mittelwert von 10.
Erstelle eine Liste der n- und p-Werte, die du für die Binomialverteilung betrachten möchtest. Wähle n = [20, 100, 1000] und p = [0.5, 0.1, 0.01], sodass stets \(np = 10\) gilt.
Ziehe mit rng.binomial() innerhalb der vorgegebenen for-Schleife 10000 Stichproben aus einer Binomialverteilung für jedes n, p-Paar und gib Mittelwert und Standardabweichung der Stichproben aus. Es gibt 3 n, p-Paare: 20, 0.5, 100, 0.1 und 1000, 0.01. Auf diese kannst du innerhalb der Schleife als n[i], p[i] zugreifen.

Interaktive Übung

Vervollständige den Beispielcode, um diese Übung erfolgreich abzuschließen.

# Draw 10,000 samples out of Poisson distribution: samples_poisson


# Print the mean and standard deviation
print('Poisson:     ', np.mean(samples_poisson),
                       np.std(samples_poisson))

# Specify values of n and p to consider for Binomial: n, p



# Draw 10,000 samples for each n,p pair: samples_binomial
for i in range(3):
    samples_binomial = ____

    # Print results
    print('n =', n[i], 'Binom:', np.mean(samples_binomial),
                                 np.std(samples_binomial))

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