模擬 AR(p) 模型

自我迴歸（AR）模型是一種用於時間序列的線性迴歸，預測值會依賴前幾個時間點的數值。因為有這種對過去時間點的依賴，模型必須按時間順序逐點計算。這表示需要使用 for 迴圈，因此 C++ 派得上用場！

以下是 R 的演算法：

ar1 <- function(n, constant, phi, eps) {
  p <- length(phi)
  x <- numeric(n)
  for(i in seq(p + 1, n)) {
    value <- rnorm(1, constant, eps)
    for(j in seq_len(p)) {
      value <- value + phi[j] * x[i - j]
    }
    x[i] <- value
  }
  x
}

n 是模擬觀測值的數量，c 是常數項，phi 是自我相關係數的數值向量，eps 是雜訊的標準差。請完成 ar2() 的定義，這是 ar1() 的 C++ 翻譯版。

本練習屬於課程

用 Rcpp 最佳化 R 程式碼

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練習說明

使用 Rcpp 的 R API，產生一個平均數為 c、標準差為 eps 的常態分佈隨機數。
讓內層 for 迴圈從 0 迭代到 p。
在內層迴圈中，將 value 增加為 phi 的第 j 個元素乘上 x 的「第 i 減 j 減 1」個元素。

動手互動練習

試著完成這個範例程式碼，體驗一下這個練習。

#include 
using namespace Rcpp;

// [[Rcpp::export]]
NumericVector ar2(int n, double c, NumericVector phi, double eps) {
  int p = phi.size();  
  NumericVector x(n);
  
  // Loop from p to n
  for(int i = p; i < n; i++) {
    // Generate a random number from the normal distribution
    double value = ___::___(___, ___);
    // Loop from zero to p
    for(int j = ___; j < ___; j++) {
      // Increase by the jth element of phi times 
      // the "i minus j minus 1"th element of x
      value += ___[___] * ___[___];
    }
    x[i] = value;
  }
  return x;
}

/*** R
d <- data.frame(
  x = 1:50,
  y = ar2(50, 10, c(1, -0.5), 1)
)
ggplot(d, aes(x, y)) + geom_line()
*/

編輯並執行程式碼